Sujet : La logique nous apprend-elle quelque chose ?

Extrait du corrigé : La théorie des ensembles, que l'on doit au mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918), permettait, semblait-il, d'unifier toutes les branches des mathématiques. Malheureusement, le logicien Bertrand Russell (1872-1970) découvre que cette théorie conduit à des antinomies, c'est-à-dire des contradictions qui ne sont pas imputables à un défaut de raisonnement, mais qui appartiennent à l'édifice logique lui-même. Les paradoxes mathématiques sont fondamentaux et nombreux. Ils doivent s'appuyer sur un raisonnement logique irréfutable qui conduit cependant à une contradiction. En mathématique, on peut distinguer deux acceptions du paradoxe. Une acception restreinte et une acception large. L'acception restreinte exigerait que cette contradiction soit elle aussi logique en montrant par exemple qu'une proposition soit vraie et fausse en même temps. L'acception large en revanche n'exige de la contradiction qu'elle remette « simplement » en question les lois naturelles. Les paradoxes mathématiques sont les plus choquants dès lors qu'ils appartiennent à la sphère de l'anti-paradoxal par excellence, à une sphère normée par la cohérence, la rigueur et donc l'indubitabilité. Il en est ainsi du paradoxe du Barbier si cher à Russell que nous ne faisions que mentionner en introduction. C'est Russell qui a monté un paradoxe pour démontrer le caractère contradictoire de la théorie des ensembles de Cantor. Russell illustre le paradoxe de la façon suivante : Dans le royaume de razibus, le roi décrète l'édit suivant: "Le barbier doit raser uniquement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes". Or le barbier ne peut respecter cette règle car : S'il se rase lui-même, il enfreint la règle, car le barbier ne peut raser que les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. S'il se fait raser, il est enfreint aussi la règle, puisque c'est à lui que revient la tâche de raser les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.